M a F na ZŠ
Kdybych měl k dispozici hodinu na zvládnutí problému, na kterém by závisel můj život, strávil bych 40 minut jeho studiem, 15 minut jeho analýzou a 5 minut jeho řešením.
Albert Einstein

GEOMETRIE

Odrážka6. ročník

Symboly v geometrii

Model krychle – origami

 

 

 

 

Symboly v geometrii


Geometrická symbolika

Cvičení

Příklad 1

Zapiš geometrickou symbolikou a načrtni obrázek:

  1. přímka q procházející dvěma body X a Y
  2. bod C patří kružnici k se středem S a poloměrem r
  3. přímka AB je rovnoběžná s přímkou KL
  4. bod P je průsečíkem přímek m a n
  5. přímka v je kolmá na přímku MN
  6. body A a B jsou průsečíky přímky p a kružnice k se středem S
  7. přímka q má s kružnicí k se středem K jedem společný bod T
  8. přímka a nemá s kružnicí v se středem V žádný společný bod
  9. kružnice m se středem M a kružnice n se středem N se protínají ve dvou bodech, bodech A a B
  10. bod X je vnitřním bodem obdélníku ABCD
  11. bod Y náleží obdélníku ABCD a zároveň leží na straně CD
  12. bod Z je vnějším bodem obdélníku ABCD
  13. velikost úsečky OP je 5 cm
  14. bod Q je bodem úsečky AB
  15. vzdálenost bodu H od přímky PQ je 3 cm
  16. bod S je středem úsečky EF

Řešení:

Příklad 1/I

– přímka q procházející dvěma body X a Y

Řešení:

Přímka
Zobraz řešení
 

Příklad 1/II

– bod C patří kružnici k se středem S a poloměrem r

Řešení:

Bod a kružnice
Zobraz řešení
 

Příklad 1/III

– přímka AB je rovnoběžná s přímkou KL

Řešení:

Rovnoběžky
Zobraz řešení
 

Příklad 1/IV

– bod P je průsečíkem přímek m a n

Řešení:

Průsečík přímek
Zobraz řešení
 

Příklad 1/V

– přímka v je kolmá na přímku MN

Řešení:

Kolmice
Zobraz řešení
 

Příklad 1/VI

– body A a B jsou průsečíky přímky p a kružnice k se středem S

Řešení:

Sečna
Zobraz řešení
 

Příklad 1/VII

– přímka q má s kružnicí k se středem K jedem společný bod T

Řešení:

Tečna
Zobraz řešení
 

Příklad 1/VIII

– přímka a nemá s kružnicí v se středem V žádný společný bod

Řešení:

Vnější přímka
Zobraz řešení
 

Příklad 1/IX

– kružnice m se středem M a kružnice n se středem N se protínají ve dvou bodech, bodech A a B

Řešení:

Průnik dvou kružnic
Zobraz řešení
 

Příklad 1/X

– bod X je vnitřním bodem obdélníku ABCD

Řešení:

Vnitřní bod obdélníku
Zobraz řešení
 

Příklad 1/XI

– bod Y náleží obdélníku ABCD a zároveň leží na straně CD

Řešení:

Bod obdélníku
Zobraz řešení
 

Příklad 1/XII

– bod Z je vnějším bodem obdélníku ABCD

Řešení:

Vnější bod obdélníku
Zobraz řešení
 

Příklad 1/XIII

– velikost úsečky OP je 5 cm

Řešení:

Velikost úsečky
Zobraz řešení
 

Příklad 1/XIV

– bod Q je bodem úsečky AB

Řešení:

Bod úsečky
Zobraz řešení
 

Příklad 1/XV

– vzdálenost bodu H od přímky PQ je 3 cm

Řešení:

Vzdálenost bodu od přímky
Zobraz řešení
 

Příklad 1/XVI

– bod S je středem úsečky EF

Řešení:

Střed úsečky
Zobraz řešení
 

Příklad 2

Rýsuj podle návodu a zapiš postup konstrukce užitím geometrické symboliky.

  1. Sestroj úsečku AB délky 6,2 cm.
  2. Sestroj kružnici k se středem v bodě A a poloměrem 48 mm.
  3. Sestroj kružnici l se středem v bodě B a poloměrem 36 mm.
  4. Jeden z průsečíků kružnic k a l pojmenuj C.
  5. Sestroj trojúhelník ABC.
  6. Sestroj střed úsečky AB a pojmenuj ho S1.
  7. Sestroj střed úsečky BC a pojmenuj ho S2.
  8. Sestroj kolmici k úsečce AB procházející bodem S1, kolmici pojmenuj o1.
  9. Sestroj kolmici k úsečce BC procházející bodem S2, kolmici pojmenuj o2.
  10. Průsečík přímek o1 a o2 označ P.
  11. Sestroj kružnici p se středem v bodě P a poloměrem rovným vzdálenosti bodů P a A.
  12. Čím je zajímavá kružnice p?

Řešení:

Příklad 2/1

Sestroj úsečku AB délky 6,2 cm.

Řešení:

Konstrukce_1
Zobraz řešení
 

Příklad 2/2

Sestroj kružnici k se středem v bodě A a poloměrem 48 mm.

Řešení:

Konstrukce_2
Zobraz řešení
 

Příklad 2/3

Sestroj kružnici l se středem v bodě B a poloměrem 36 mm.

Řešení:

Konstrukce_3
Zobraz řešení
 

Příklad 2/4

Jeden z průsečíků kružnic k a l pojmenuj C.

Řešení:

Konstrukce_4
Zobraz řešení
 

Příklad 2/5

Sestroj trojúhelník ABC.

Řešení:

Konstrukce_5
Zobraz řešení
 

Příklad 2/6

Sestroj střed úsečky AB a pojmenuj ho S1.

Řešení:

Konstrukce_6
Zobraz řešení
 

Příklad 2/7

Sestroj střed úsečky BC a pojmenuj ho S2.

Řešení:

Konstrukce_7
Zobraz řešení
 

Příklad 2/8

Sestroj kolmici k úsečce AB procházející bodem S1, kolmici pojmenuj o1.

Řešení:

Konstrukce_8
Zobraz řešení
 

Příklad 2/9

Sestroj kolmici k úsečce BC procházející bodem S2, kolmici pojmenuj o2.

Řešení:

Konstrukce_9
Zobraz řešení
 

Příklad 2/10

Průsečík přímek o1 a o2 označ P.

Řešení:

Konstrukce_10
Zobraz řešení
 

Příklad 2/11

Sestroj kružnici p se středem v bodě P a poloměrem rovným vzdálenosti bodů P a A.

Řešení:

Konstrukce_11
Zobraz řešení
 

Příklad 2/12

Čím je zajímavá kružnice p?

Řešení:

Konstrukce_12

Na kružnici leží všechny tři vrcholy trojúhelníku ABC. Kružnice je trojúhelníku opsaná.

Zobraz řešení
 

Postup konstrukce:

Postup konstrukce
Zobraz řešení
 

Příklad 3

Rýsuj podle návodu a zapiš postup konstrukce užitím geometrické symboliky.

  1. Sestroj úsečku AB o délce 8 cm.
  2. Sestroj střed úsečky AB a pojmenuj ho S.
  3. Sestroj kružnici t se středem v bodě S a poloměrem SA.
  4. Sestroj přímku p rovnoběžnou s přímkou AB. Vzdálenost přímky p od přímky AB je 3 cm.
  5. Průsečík přímky p a kružnice t označ E.
  6. Sestroj polopřímku AE.
  7. Sestroj polopřímku BE.
  8. Sestroj kružnici k se středem v bodě B a poloměrem 5 cm.
  9. Průsečík kružnice k a polopřímky AE označ C.
  10. Sestroj přímku q rovnoběžnou s úsečkou AB, přímka q prochází bodem C.
  11. Průsečík přímky q a polopřímky BE označ D.
  12. Vytáhni čtyřúhelník ABCD.

Řešení:

Příklad 3/1

Sestroj úsečku AB o délce 8 cm.

Řešení:

Příklad 3/1
Zobraz řešení
 

Příklad 3/2

Sestroj střed úsečky AB a pojmenuj ho S.

Řešení:

Příklad 3/2
Zobraz řešení
 

Příklad 3/3

Sestroj kružnici t se středem v bodě S a poloměrem SA.

Řešení:

Příklad 3/3
Zobraz řešení
 

Příklad 3/4

Sestroj přímku p rovnoběžnou s přímkou AB. Vzdálenost přímky p od přímky AB je 3 cm.

Poznámka

Vzdálenost rovnoběžných přímek je definována jako délka nejkratší úsečky s jedním krajním bodem na jedné přímce a druhým krajním bodem na druhé přímce. Touto nejkratší úsečkou je úsečka kolmá k oběma rovnoběžným přímkám.
Existují dvě přímky, které mají od přímky AB vzdálenost 3 cm. Sestroj jen jednu přímku. Pokud je přímka AB vodorovná, sestroj tu, která je nad přímkou AB.

Vzdálenost rovnoběžek

Řešení:

Příklad 3/4
Zobraz řešení
 

Příklad 3/5

Průsečík přímky p a kružnice t označ E.

Poznámka

Přímka p protíná kružnici t ve dvou bodech (vzdálenost přímky p od středu kružnice t je menší než její poloměr). Ze dvou průsečíků vyber ten, který je více vpravo.

Řešení:

Příklad 3/5
Zobraz řešení
 

Příklad 3/6

Sestroj polopřímku AE.

Řešení:

Příklad 3/6
Zobraz řešení
 

Příklad 3/7

Sestroj polopřímku BE.

Řešení:

Příklad 3/7
Zobraz řešení
 

Příklad 3/8

Sestroj kružnici k se středem v bodě B a poloměrem 5 cm.

Řešení:

Příklad 3/8
Zobraz řešení
 

Příklad 3/9

Průsečík kružnice k a polopřímky AE označ C.

Poznámka

Kružnice k protíná polopřímku AE ve dvou bodech. Jako bod C označ ten z průsečíků, který nenáleží úsečce AE.

Řešení:

Příklad 3/9
Zobraz řešení
 

Příklad 3/10

Sestroj přímku q rovnoběžnou s úsečkou AB, přímka q prochází bodem C.

Řešení:

Příklad 3/10
Zobraz řešení
 

Příklad 3/11

Průsečík přímky q a polopřímky BE označ D.

Řešení:

Příklad 3/11
Zobraz řešení
 

Příklad 3/12

Vytáhni čtyřúhelník ABCD.

Řešení:

Příklad 3/12
Zobraz řešení
 

Postup konstrukce:

Postup konstrukce
Zobraz řešení
 

Příklad 4

Rýsuj podle uvedeného postupu konstrukce.

Postup konstrukce - zadání

Řešení:

Příklad 4/1

Zadání 1
Příklad 4/1
Zobraz řešení
 

Příklad 4/2

Zadání 2
Příklad 4/2
Zobraz řešení
 

Příklad 4/3

Zadání 3
Příklad 4/3
Zobraz řešení
 

Příklad 4/4

Zadání 4
Příklad 4/4
Zobraz řešení
 

Příklad 4/5

Zadání 5

Poznámka

Kružnice k a t se protínají ve dvou bodech. Jako bod P označ bod nad úsečkou BC.

Příklad 4/5
Zobraz řešení
 

Příklad 4/6

Zadání 6
Příklad 4/6
Zobraz řešení
 

Příklad 4/7

Zadání 7

Poznámka

V krocích 7 až 13 je popsán postup konstrukce osy ostrého úhlu BCP. Konstrukce osy úhlu patří mezi základní konstrukce, které se v postupu konstrukce nerozepisují. Místo kroků 7 až 13 by měl být v postupu zapsaný jen jediný krok – osa ostrého úhlu BCP. V současné době ještě osu úhlu sestrojit neumíš, proto postupuj podle návodu.

Příklad 4/7
Zobraz řešení
 

Příklad 4/8

Zadání 8
Příklad 4/8
Zobraz řešení
 

Příklad 4/9

Zadání 9
Příklad 4/9
Zobraz řešení
 

Příklad 4/10

Zadání 10
Příklad 4/10
Zobraz řešení
 

Příklad 4/11

Zadání 11
Příklad 4/11
Zobraz řešení
 

Příklad 4/12

Zadání 12

Poznámka

Kružnice q a r se protínají ve dvou bodech. Vzhledem k tomu, že hledáme osu ostrého úhlu BCP, vyber si ten z průsečíků, který patří tomuto úhlu.

Příklad 4/12
Zobraz řešení
 

Příklad 4/13

Zadání 13
Příklad 4/13
Zobraz řešení
 

Příklad 4/14

Zadání 14
Příklad 4/14
Zobraz řešení
 

Příklad 4/15

Zadání 15
Příklad 4/15
Zobraz řešení
 

Příklad 4/16

Zadání 16

Pro větší přehlednost je kružnice modrá.

Příklad 4/16
Zobraz řešení
 

Příklad 4/17

Zadání 17

Úsečku BS musíš sestrojit. Spoj body B a S. Konstrukce středu úsečky je zvýrazněná fialovou barvou.

Příklad 4/17
Zobraz řešení
 

Příklad 4/18

Zadání 18
Příklad 4/18
Zobraz řešení
 

Příklad 4/19

Zadání 19

Poznámka

V této fázi konstrukce je již obrázek velice nepřehledný, proto jsou jednotlivé kroky zvýrazněny barevně. Nepřehlednost způsobuje příliš mnoho kružnic. Až budeš mít více zkušeností s konstrukčními úlohami, poznáš, že není vždy nutné rýsovat celou kružnici, že bude stačit jen její část (oblouk kružnice).
Kružnice n a u se protínají ve dvou bodech. Při zcela přesné konstrukci jeden z nich leží na úsečce BC. Ty si vyber ten z průsečíků, který je dál od úsečky BC.

Příklad 4/19
Zobraz řešení
 

Příklad 4/20

Zadání 20
Příklad 4/20
Zobraz řešení
 

Příklad 4/21

Zadání 21
Příklad 4/21
Zobraz řešení
 

Příklad 4/22

Zadání 22

Při přesné konstrukci zjistíš, že kružnice n je vepsaná trojúhelniku ABC.

Příklad 4/22 Výsledek
Zobraz řešení